傅里叶变换的意义

傅里叶变换的意义在于提取一张图片的频率成分，理论推导见笔记本。

映射关系

其映射关系可以大致总结成

f(x,y)−−−>F(u,v)

其中图片可以看作是一个矩阵，矩阵里的元素是灰度值。而矩阵又可以看作是函数的离散形式。（就像向量可以看作一元函数离散一样，见笔记本）。那么f(x,y)就可以认为是矩阵的函数形式。f(x,y)就相当于一张图片，x,y是像素坐标，f(x,y)是像素灰度值。

F(u,v)是这张图片的某个函数。虽然也可以表示为图片，但是它的意义并不是图片而是一种分析数据。

具体形式

傅里叶变换的具体形式是

F(u,v)=∬f(x,y)e−2πi(ux+vy)dxdy

e−2πi(ux+vy)=cos(2π(ux+vy))+isin(2π(ux+vy))

1. 两个函数的乘积后积分。对应的离散形式就是两个函数在某点的值相乘，求和。
2. 这是向量的乘法推广，向量的乘法代表在某个方向的分量投影，这里函数的乘法也是一样。
3. 如果u,v是确定的，那么可以认为这是f(x,y)在特定正弦函数和特定余弦函数上的分量。
4. 一连串的正弦函数和余弦函数构成了无穷维空间的基。
5. 同时由于有无穷多的基，所以u,v是连续变化的。
6. 傅里叶变换结果F(u,v）表示在某特定基（cos(u,v),sin(u,v)）上函数的投影值。如果把(u,v)看作是一个平面，那么可以找到u,v坐标系下，函数在特定基上的投影值。
7. 傅里叶变换结果对图像的旋转是敏感的。同一张图旋转后其傅里叶变换结果不同。
8. 实际上，是用二维平面各个方向上的正弦余弦函数来对f（x,y）进行重构，u,v指定了方向，u2+v2−−−−−−√ 指定了频率的大小。

如图所示

左图表示的是(u,v)=(0,0.4)，傅里叶变换实数部分所对应的图片

中图表示的是(u,v)=(1,2)，傅里叶变换实数部分所对应的图片

右图表示的是(u,v)=(10,-5)，傅里叶变换实数部分所对应的图片

从图中可以看出，纹理在某个方向出现的频率升高，那么对应点傅里叶变换的数值也会增大。如果图片旋转，频域图也会变化。

matlab

A=imread('window.jpg'); %载入图片A=rgb2gray(A);B=fftshift(fft2(A)); % 进行傅立叶变换，并且移位subplot(231)imshow(A);title('原始图像');subplot(232)imshow(abs(B),[ ]);title('原始频谱图');subplot(233)imshow(log(abs(B)),[]);title('取对数后的频谱图');subplot(234)imshow(angle(B),[ ]);title('相位图');subplot(235)imshow(real(B),[ ]);title('实部图');subplot(236)imshow(imag(B),[ ]);title('虚部图');%代码转自网络

傅里叶变换结果

这里值得注意的是如果不先变化成灰度图，傅里叶变换的结果是一片空白。

如图

没转成灰度图。

同时imshow里必须加上[]

否则会导致频谱图一篇空白

最后必须对频谱取对数再作图，否则会导致一片空白

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